التفاضل والتكامل

اولاً التفاضل

حساب التفاضل أحد فروع الرياضيات. يقوم الطلاب بدراسته في الجامعات والمعاهد العليا بعد أن يكونوا قد تمكنوا من دراسة علم الجبر، والهندسة المستوية، وحساب المثلثات، والهندسة التحليلية. ويطلق علماء الرياضيات اسم حساب التفاضل والتكامل على هذا الفرع من الرياضيات لتمييزه عن طرق الحساب الأخرى.

يتعامل حساب التفاضل والتكامل مع الكميات المتغيرة. فعلى سبيل المثال، تخيل أن طائرة ما تطير بسرعة ثابتة مقدارها 1,000كم /ساعة. تقطع هذه الطائرة 1,000كم في ساعة واحدة و2,000كم في ساعتين و3,500كم فيثلاث ساعات ونصف. من الجبر نستطيع أن نستنبط القاعدة التالية التي تعطينا المسافة (ف) بالكيلومترات التي تقطعها الطائرة في زمن مقداره ن/ساعة: ف = 1,000ن. ولكن لنفرض الآن أن الطائرة لاتطير بسرعة ثابتة نتيجة لظروف الرياح وعوامل أخرى. عندئذلن تبقى مسألة التنبؤ بالمسافة التي تقطعها الطائرة في أي فترة معينة من الزمن مسألة في الجبر، بل تصبح مسألة تحل بوساطة حساب التفاضل والتكامل.

لحسابالتفاضل والتكامل فرعان رئيسيان هما: حساب التفاضل وحساب التكامل. والقضية الأساسية في حساب التفاضل هي إيجاد معدل تغير كمية معلومة في حالة تغير. أما في حساب التكامل، فنبحث في القضية العكسية، أي نحاول إيجاد الكمية من معرفة المعدل الذيتتغير به.

على سبيل المثال، تخيل رجلاً يطوف في سفينة فضاء بالقرب من كوكبليس له غلاف جوي. فإذا تركت كرة لتسقط من السفينة، فإنها ستقع في اتجاه الكوكب بسبب الجاذبية. وباستخدام آلاته، قد يجد الرجل أن المسافة ف التي تسقطها الكرة في نثانية من إطلاقها تعطى بالقاعدة: ف = 7 ن². ويلاحظ مثلاً أن الكرة تسقط مسافة 7 مفي ثانية واحدة، و 28 م في ثانيتين، و 700 م في 10 ثوان. إن الكرة لاتسقط بسرعة ثابتة.

غير أن رجل الفضاء يرغب في معرفة سرعة الكرة في أية لحظة. وباستخدام حساب التفاضل، يستطيع أن يستنبط القاعدة: ع = 14 ن، حيث ع هي سرعة الكرة بالأمتارفي الثانية بعد إسقاطها بمدة قدرها ن ثانية. ومن ثم، تكون سرعة الكرة 14 م في الثانية بعد ثانية واحدة، و 28 م في الثانية بعد ثانيتين، و140 م في الثانية بعدعشر ثوان. ومن القاعدة ع = 14 ن يستطيع رجل الفضاء أن يستنتج باستخدام حساب التفاضلـ مرة أخرى ـ أن للكرة تسارعاً ثابتاً مقداره 14 م في الثانية، في الثانية (تكتب 14م/ثانية/ثانية) أي أنه في كل ثانية، تزيد سرعة الكرة 14متراً في الثانية (14م/ثانية).

ولو كان رجل الفضاء يعلم أن تسارع الكرة نتيجة لقوة الجاذبيةهــو (14م/ثانية / ثانية)، لأمكنه باستـخـدام حسـاب التكامل أن يثبت أن القاعدةالتي تعطي سرعة الكرة هي ع = 14 ن، وأن القاعدة التي تعطي المسافة التي تسقطها الكرة هي ف = 7 ن².
__________________

حتى نفهم التفاضل لابد أن نفهم قوانيين الأشتقاق لانها الأساس لفهم التفاضل
وحتى لااتعبكم فاني وجدت لكم هذا الفيديو العملي لفهم الاشتقاق وبالتالي فهم حساب التفاضل
وطبعاً هذا الموضوع للمهتمين بهذا للعلم فقط

وهذه قواعد الأشتقاق لمن لم يستوعبها بالفيديو فاذا تم حفظها تستطيعون متابعة الشرح في الفيديو

تبحث هذه النظرية في أصفار ( جذور ) المشتقة الأولى للاقتران .
نص النظرية :
إذا كان :
ق(س) إقتراناً متصلاً في [ أ ، ب ]
ق(س) قابلاً للاشتقاق في ( أ ، ب )
ق (أ) = ق ( ب )
فإنه :
يوجد قيمة واحدة على الأقل جـ ' ( أ ، ب )

التفسير الهندسي للنظرية :
إذا تحققت شروط نظرية رول على منحنى اقتران ..... بمعنى أن يكون المنحنى متصلاً أملساً وقيمة الاقتران عند نقطة البداية تساوي قيمة الاقتران عند نقطة النهاية .
فإنه يوجد نقطة واحدة على الأقل على منحنى الاقتران يكون المماس عندها موازياً لمحور السينات .

__________________

كل الشكر والتقدير لك
على الطرح المميزو الافادة
يسلموووووو

هنالك علاقة كبيرة بين نظرية رول ونظرية القيمة المتوسطة فكلاهما يتكلم عن اقتران متصل على فترة محددة وقابل للاستقاق على نفس الفترة والفرق الوحيد بينهما هو أن نظرية القيمة المتوسطة تتحدث عن مماس يوازي القاطع وبالتالي يكون له قيمة غير الصفر.

نص نظرية القيمة المتوسطة:
إذا كان الاقتران ق (س) متصلاً على الفترة [ أ ، ب ]، وقابلاً للاشتقاق عند كل النقاط الداخلية للفترة
( أ ، ب ) وكانت قيمة ق (ب)≠ ق (أ) فإنه يوجد على الأقل نقطة واحدة على منحنى الاقتران ولنفرضها
جـ حيث ب > جـ > أ وحيث
أي يكون المماس عندها موازياً للقاطعالواصل بين نقطي البداية والنهاية للفترة على منحني الاقتران.

تذكير:

هو ميل الخط المستقيم أ ب.

تسمى النقطة (جـ ، ق(جـ) ) نقطة حرجة للاقتران

عين جميع قيم (س) التي عندها نقاط حرجة

عين مجالات التزايد ومجالات التناقص لمنحنى الإقتران ق(س) = 2س3ـ 6س2 ـ 18 س +7 ، س' [ ـ5 ، 9 ]

ق(س) = 2س3ـ6س2ـ 18 س + 7

مجالاتتزايد ق(س) هي [ ـ 5 ، ـ 1 ] ، [ 3 ، 9 ]

مجالات تناقصق(س) هي [ ـ 1 ، 4 ]

عين مجالات التزايد ومجالات التناقص لمنحنى الإقتران ق(س) = 2س3ـ 6س2 ـ 18 س +7 ، س' [ ـ5 ، 9 ]

ق(س) = 2س3ـ6س2ـ 18 س + 7

مجالاتتزايد ق(س) هي [ ـ 5 ، ـ 1 ] ، [ 3 ، 9 ]

مجالات تناقصق(س) هي [ ـ 1 ، 4 ]

إنفراج المنحنى إلى أعلى وتحدبه إلى اسفل
يقع المنحنى فوق مماساته
عند تتبع الزاوية التي يصنعها المماسات المرسومة
عند أ ، ب ، جـ على الترتيب مع محور السينات ( الاتجاه الموجب ) نلاحظ أن الزاوية تتغير منمنفرجةإلىصفرإلىحادة .
حيث يكون ظل هذه الزاوية سالب ثم صفر ثم موجب ومعنى هذا أن ظل الزاوية التي يصنعها المماس من سالب إلى صفر إلى موجب أي أن ظل الزاوية في تزايد ( وحيث أن ظل الزاوية = )

__________________