لمحة عن التباديل والتوافيق

التبديلة: عبارة عن تطبيق function تقابل من مجموعة منتهية إلى نفسها ويعبر عنها بالشكل

حيث تحت كل عنصر صورته, أحيانا نسميها تبديلة على المجموعة. بما أن العناصر في الصف العلوي تكتب بطريقة مرتبة فإنه يمكن الإكتفاء بالسطر الثاني (سطر صور العناصر) للتعبير عن التبديلة فنكتب للدلالة على التبديلة السابقة.

في بعض الأحيان لا نهتم بنوع عناصر المجموعة فنعتبرها أعداد من 1 إلى n

{1,2,3,...,n}

وبالتالي التبديلة (2431) مثلا هي تعبير مختصرعن التبديلة

التبديلة تطلق أيضاً على كل ترتيب في سلسلة لعناصر من مجموعة منتهية. مثلاً السلسلة abde عبارة عن تبديلة مكونة من 4 عناصر مأخوذة من المجموعة

{a,b,c,d,e,f,,g,h}

نفس هذه العناصر الأربعة عندما يعاد ترتيبها بشكل آخر فإنها تعطي تبديلة مختلفة. مثلا التبديلة abed تختلف عن الأولى abde لإختلاف ترتيب عناصرهما.

إذا كانت X مجموعة منتهية عدد عناصرها n فإن ترمز لعدد التبديلات الممكنة من هذه المجموعة والتي في كل واحدة r عنصر ويعطى هذا العدد بالقانون

وهو ناتج مباشرة من مبدأ العد. يمكن كتابة هذا القانون بشكل آخر سهل التذكر وهو

للتبديلة رموز أخرى مثل أو .


مثال: عدد التبديلات التي بكل واحدة 3 عناصر المأخوذة من المجموعة {a,b,c,d} هو

كيف نوجد هذه التبديلات بدون أن نقع في التكرار؟

رتب كل العناصر في شكل دائري, ثم نبدأ في إيجاد التبديلات الأساسية إن جاز التعبير وسيتضح الآن ماذا نقصد.

التبديلة الأساسية الأولى: ابدأ من أحد العناصر وليكن a واختر اتجاه معين وليكن الاتجاه الموجب وسجل العنصرين الذين ستقابلهما في هذا الاتجاه الى جانب العنصر a لينتج التبديله abc.التبديلةالتبديلة

التبديلة الأساسية الثانية: نبدأ من العنصر الذي بعد a في نفس الاتجاه وهو b وبنفس الطريقة سنحصل على bcd.

التبديلة الأساسية الثالثة: هي cda

التبديلة الأساسية الرابعة: dab

الآن أي تبديلة ثلاثية أخرى ستكون مرتبطة بواحدة من هذه التبديلات الأساسية. بمعنى أن عناصرها ستكون نفس العناصر لإحدى هذه التبديلات الأربع.

كل تبديلة أساسية تعطي 6 تبديلات. إذا لدينا 6×4 = 24 تبديلة مختلفة.

بهذه الطريقة تستطيع إيجاد التبديلات من مجموعة ما دون الوقوع في الخلط والتكرار, لاحظ التبديلات الأساسية هي بالضبط عدد المجموعات ذات الأربعة عناصر من المجموعة المعطاة. نؤكد مرة أخرى على أن التسمية "تبديلة أساسية" ليست اصطلاح رياضي وإنما موضعي فقط لإيصال الفكرة.

التبديلات الناتجة هي:


abc, acb, bca, bac, cab, cba
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb
cda, cad, acd, adc, dca, dac
dab, dba, abd, adb, bad,bda

ماذا لو طلبنا عدد السلاسل من هذا النوع بدون مراعاة للترتيب؟ في هذه الحالة فإن كل صف هنا سيعطى سلسلة واحدة, وتسمى توفيق كما تعلم, ويكتب التوفيق على شكل مجموعة. إذا لدينا 4 توافيق فقط وهي

{a,b,c}, {b,c,d}, {c,d,a}, {d,a,b}

كل واحدة من هذه المجموعات تسمى توفيقة combination أو توفيقا. وبشكل عام إذا X مجموعة ذات n عنصر فإن أي مجموعة من X ذات r عنصرا نسميها توفيقة أو توفيق رائي, r-combination.

لاحظ المثال السابق فيه 6 توفيقات مأخوذة ثلاثة ثلاثة. كل واحدة تنتج ما عدده 3×2×1 من التباديل وبشكل عام فإذا كان M يمثل عدد التوافيـق الرائية فإن كل توفيق به r عنصرا ولذلك سيولد ! r تبديلة مختلفة. إذا

فإذا رمزنا لعدد التوافيـق المأخوذة راءا راء من مجموعة ذات n عنصر بالرمز C(n,r) فإن

للتوافيق رموز متعددة منها و وهذا الأخير هو ما نستخدمه في كتابة معاملات نظرية ذات الحدين وسنأتي على مناقشتها.

عدد الطرق المختلفة للاختيار عناصر عددها r بدون مراعاة للترتيب يمثل عدد التوافيـق أما عدد التباديل فيمثل عدد الطرق لاختيار عناصر مع مراعاة الترتيب.

مثلاً: من مجموعة بها 6 موظفين في أحد الأقسام.
بكم طريقة تستطيع اختيار رئيس ونائب له؟
بكم طريقة تستطيع اختيار اثنان منهم لحضور ندوة في هذه الليلية؟

هذا المثال يوضح الفرق, في المطلوب الأول اختيار اثنين لا يكفي بل يجب أن تحدد من منهم الرئيس ومن هو النائب ولذلك للترتيب أهمية وبالتالي عدد الطرق هو في حين أن اختيار اثنين لحضور الاجتماع لا نهتم فيه بالترتيب ولذلك عدد الطرق هو .

قاعدة: وضع r شيئاً متطابقاً في n موضعاً بحيث كل موضع يحتوى على شيء واحد على الأكثر يتم بطرق عددها C(n,r).

مثلاً يمكن وضع 6 كرات بيضاء متطابقة في 8 صناديق بحيث لا تزيد عدد الكرات في الصندوق الواحد عن كرة واحدة بطرق عددها C(8,6).
إثبات هذه القاعدة سهل بملاحظة أن توزيع هذه الأشياء على المواضع هو بمثابة اختيار r موضعا من هذه المواضع.

بوجه عام ::
تعريف ::
التبديل لمجموعة مكونة من ن من العناصر هو اي ترتيب لعناصر هذه المجموعة يرمز لعدد جميع هذه التراتيب (التباديل) بالرمز ل(ن,ن).

مثال(1)::
اراد اربعة اشخاص اخذ صورة جماعية بوقوفهم معا في صف واحد بكم طريقة مختلفة يمكن ان يصطف هؤلاء الاشخاص ؟؟

الحل::
الطرق المختلفة لاصطفاف الاشخاص هي التباديل المختلفة لمجموعة مكونة من اربعه عناصر اي ل(4,4) ولايجاد ل(4,4) يمكننا تصور المواقع الاربعة التي يقف بها الاشخاص الاربعة هكذا ::
يمكن اشغال الموقع الاول بِ4 طرق
يمكن اشغال الموقع الثاني بِ3 طرق
يمكن اشغال الموقع الثالث بِ2 طرق
يمكن اشغال الموقع الرابع بِ1 طرق

عدد جميع الطرق = 4*3*2*1=24 طريقة
اي ان ل(4,4) = 4*3*2*1=24


و بوجه عام ::
اذا كانت س مجموعة عدد عناصرها ن , فان عدد تباديل (تراتيب) هذه العناصر يساوي ل(ن,ن) = ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1
و اختصارا في كتابة حاصل الضرب ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1 فاننا نكتبه على صورة ن! وتقرأ مضروب ن ((n factorial

تعريف ::
اذا كان عددأ صحيحيا موجبا فان مضروب فان مضروب ن (ويرمز له بالرمز ن! ) يعرف هكذا::
ن!= ن(ن-1)(ن-2)* . . . *3*2*1
0! = 1
اي ان مضروب ن يساوي حاصل ضرب ن من الاعداد الطبيعية المتتالية تبدأ بالعدد ن و تنتهي بالعدد 1


مثال (2)::
جد ناتج 5!
الحل::
5!=5*4*3*2*1=120

مثال (3)::
بين ان 8!=56*6!
الحل::
الطرف الايمن
8!=8*7*6*5*4*3*2*1
=8*7*(6*5*4*3*2*1)
=8*7*6!
=56*6!


مثال (4)::
اكتب كلا مما يلي باستخدام رمز المضروب
أ- 5*4*6*3*1*2
ب- 10*9*8
ج- ن(ن^2-1)

الحل::
أ‌- 5*4*6*3*1*2 =6*5*4*3*2*1=6!
ب‌- 10*9*8 = 10*9*8*7!\7! =10!\7!
ج- ن(ن^2-1) = ن(ن-1)(ن+1)
= (ن+1)*ن*(ن-1)
=(ن+1)*ن*(ن-1)*(ن-2)!\(ن-2)!
=(ن+1)!\(ن-2)!

مثال (5)::
اذا كان ن! = 720 فما قيمة ن ؟

الحل::
ن! = حاصل ضرب ن من الاعداد الطبيعية المتتالية اكبرها ن و اصغرها 1 لذا نكتب الطرف الايسر على صورة حاصل ضرب عوامل متتالية اصغرها 1 فيكون اكبرها ن .
720 = 6*5*4*3*2*1 = 6!
ن = 6

ملاحظة ::
تم اخراج العوامل عن طريق التحليل
270/1=270
270/2=360
360/3=120
120/4=30
30/5=6
6/6=1


مثال (6)::
اذا كان ن!\(ن-2)! = 20 فما قيمة ن ؟

الحل::
ن!\(ن-2)! =20
ن(ن-1)(ن-2)!\ (ن-2)! =20
ن(ن-1) = 20
ن^2-ن-20 = 0
(ن-5)(ن+4)=0
ن = 5 , -4 و يرفض الجواب السالب
اذن ن = 5

اشترك 6 متسابقين في المونديال الاول للرياضيات . بكم طريقة يمكن ان تظهر فية نتيجة السباق للمراكز الثلاثة الاولى علما بأنه لم يحل اثنان في المركز نفسه ؟

الحل::
يمكن ملء المركز الاول بِ 6 طرق
يمكن ملء المركز الثاني بِ 5 طرق
يمكن ملء المركز الثالث بِ 4 طرق
اي يمكن ملء المراكز الثلاثة الاولى بطرق عددها 6*5*4=120 طريقة

لاحظ ان كل طريقة من هذة الطرق هي ترتيب لثلاثة متسابقين من بين المتسابقين الستة و بالرموز ::
ل(6 , 3)= 6*5*4=120
لاحظ ايضا ان ل(6 , 3) يساوي حاصل ضرب ثلاثة اعداد طبيعية تبدأ بالعدد 6

اذا كان ل(7 , ر) = 840 فما قيمة ر؟؟

الحل ::
الطرف الايمن ل( 7 , ر) = حاصل ضرب ر من الاعداد الطبيعية المتتالية اكبرها 7 , لذا نكتب العدد 840 على صورة حاصل ضرب عوامل متتالية اكبرها 7
فيكون 840 = 7*6*5*4
اي ان ل( 7 , ر) = 7*6*5*4
ر = 4

840\7=120
120\6=20
20\5=4
4\4=

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________